Maher (1982) e Dixon-Coles (1997): modelos de placar no futebol em termos simples

Maher (1982) e Dixon-Coles (1997) são referências para modelar placares de futebol. A ideia central é estimar taxas de gols a partir da força dos times e transformá-las em probabilidades de placar. A correção Dixon-Coles modifica quatro resultados baixos: 0–0, 1–0, 0–1 e 1–1.

Para entender o que a ImpliedScore faz, separe duas tarefas: estimar as taxas com resultados históricos e ajustá-las a probabilidades derivadas das odds. Os modelos originais tratam da primeira; a calculadora do site usa os preços de mercado como ponto de partida para a segunda.

Maher: ataque, defesa e taxas de gols

O trabalho de Maher investiga distribuições de gols que levam em conta diferenças entre os times. Uma forma usual de apresentar essa família de modelos é combinar a força de ataque de quem vai marcar, a defesa do adversário e um fator de mando de campo.

Em uma parametrização multiplicativa ilustrativa:

λ casa = base × ataque casa × fraqueza defensiva fora × fator de mando
λ fora = base × ataque fora × fraqueza defensiva casa

Aqui, um valor maior de fraqueza defensiva aumenta a taxa de gols do adversário. Outras convenções usam força defensiva, com sinal ou posição diferente na fórmula. As escalas dos parâmetros precisam de restrições para que a estimação seja identificável; não basta atribuir notas arbitrárias e interpretar o produto como um resultado ajustado.

Essas taxas variam conforme o confronto. A obra de Maher também considera uma extensão bivariada; reduzir todo o trabalho à hipótese de independência deixa parte dessa discussão de fora.

Da taxa de gols à probabilidade do placar

Na versão Poisson independente, a probabilidade de um time marcar k gols, dada a taxa λ, é:

P(k gols) = e−λ × λk / k!

Multiplicando as probabilidades dos dois times, obtemos a célula do placar:

P(h, a) = e−(λ casa + λ fora) × λ casah/h! × λ foraa/a!

A independência é uma hipótese condicional às taxas e às informações do modelo. Não significa que, no futebol real, o comportamento de um time nunca afeta o outro. O placar, expulsões e mudanças táticas podem modificar o processo de gols ao longo da partida.

Consulte o guia de Poisson no futebol para uma introdução à distribuição e como ler o mapa de probabilidade de placar para interpretar a tabela resultante. As taxas λ representam médias do modelo, não o placar que obrigatoriamente ocorrerá.

O que Dixon-Coles corrige

Dixon e Coles introduzem uma correção local à distribuição independente. Ela pode ajustar o comportamento dos placares baixos sem alterar diretamente todas as células. Não se deve presumir que o Poisson sempre subestima todos os empates em qualquer competição: o desvio e sua direção precisam ser examinados nos dados.

A probabilidade corrigida é P DC(h,a) = τ(h,a) × P independente(h,a), com os seguintes fatores na convenção usada aqui:

Com ρ negativo e parâmetros válidos, 0–0 e 1–1 ganham probabilidade; 1–0 e 0–1 perdem. Com ρ positivo, ocorre o contrário. O parâmetro ρ controla essa correção: não é simplesmente o coeficiente de correlação usual entre os gols dos dois times.

Os fatores precisam permanecer não negativos. Para taxas estritamente positivas, isso exige:

máx(−1/λ casa, −1/λ fora) ≤ ρ ≤ mín(1, 1/(λ casa × λ fora))

Em ajustes com log-verossimilhança, normalmente se trabalha com probabilidades positivas e evita-se a fronteira. Se um único ρ serve a vários jogos, ele precisa respeitar as restrições em todos eles. Não existe uma faixa universal de valores que seja válida para quaisquer taxas.

Para que todos os fatores sejam estritamente positivos, substitua ≤ por < na expressão acima. O motor principal ImpliedScore 0.5.2 impõe limites adicionais: ρ de −0,12 a +0,02 e λ até 6. Nesse domínio, cada τ é pelo menos 0,28. Isso decorre dos limites atuais da implementação, não é um intervalo universal para taxas arbitrárias.

Um exemplo completo da correção

Mantenha as taxas em 1,60 para a casa e 1,10 para fora e escolha ρ = −0,10 apenas para ilustrar. As quatro células mudam assim:

Antes de arredondar, cada alteração tem módulo de 1,182817… ponto percentual. O ganho dos dois empates é compensado pela perda dos dois placares de vitória mínima. Por isso, a soma completa permanece 100%.

• Empate: aumenta em aproximadamente 2,37 pontos percentuais.
• Vitória da casa e vitória de fora: cada uma diminui cerca de 1,18 ponto.
• BTTS sim: aumenta cerca de 1,18 ponto, pelo acréscimo em 1–1.
• Mais/menos 2,5: não muda, pois as quatro correções estão em placares de até dois gols e se cancelam nesse total.

A diferença entre a probabilidade de vitória da casa e a de fora permanece igual nesse exemplo de taxas fixas; a comparação de cada uma com o empate pode mudar. Todas as outras células individuais ficam inalteradas. Se as taxas forem reajustadas após mudar ρ, a matriz inteira pode mudar indiretamente. O guia de mais/menos 2,5 e ambas marcam detalha a ligação entre esses mercados.

O modelo histórico também dá peso ao tempo

O trabalho de Dixon e Coles vai além de multiplicar quatro células: estima forças dos times a partir de resultados, com ponderação temporal para que partidas antigas tenham menos influência. Uma forma de escrever o peso é w = exp(−ξ × idade do jogo), com ξ positivo.

Um ξ maior reduz mais rapidamente a contribuição dos jogos antigos; a unidade de tempo precisa acompanhar a escolha do parâmetro. A velocidade de decaimento deve ser avaliada com dados e validação. Não há um valor ideal que se aplique automaticamente a todas as ligas e períodos.

Essa estimação requer uma base histórica e um critério de ajuste. Aplicar somente τ a taxas já disponíveis usa a correção de placares baixos, mas não reconstrói todo esse processo de treinamento.

Como a ImpliedScore usa essas ideias

A metodologia da ImpliedScore descreve uma sequência baseada no mercado:

1. Receber odds de casa, empate e fora. O total 2,5 é opcional; quando ativado, exige as duas odds, mais e menos. As odds ativas devem estar entre 1,01 e 999.
2. Converter os preços e remover a margem, como em como converter odds em probabilidade.
3. Escolher Poisson independente ou Dixon–Coles e o valor de ρ antes de ajustar as taxas.
4. Ajustar as taxas dos dois times sob o modelo escolhido para aproximar as probabilidades de entrada.
5. Construir a matriz com o modelo escolhido e derivar os mercados a partir dela.

Quando Dixon-Coles está ativo, a correção entra no ajuste às probabilidades de mercado. O ρ escolhido pelo usuário ou por um preset heurístico não equivale a estimar o modelo histórico completo por máxima verossimilhança. Uma aproximação boa às odds também não transforma o mercado em uma fonte infalível.

Com ρ fixo, duas taxas aproximam dois alvos independentes 1X2; ativar o total acrescenta um terceiro. Em geral não existe ajuste conjunto exato. A aba Ajuste mostra os resíduos; um aviso de limite de busca exige verificar quanto a solução foi restringida pelo intervalo de λ.

Essas taxas são gols esperados implícitos no modelo ajustado às odds, distintos do xG calculado a partir das finalizações de uma partida. Veja como funciona a calculadora de placar exato para os campos de entrada e a interpretação do ajuste. Para avaliar previsões, use calibração e Brier score em dados separados do ajuste.

Abrir a calculadora de placar →

Referências e aprofundamento

• Maher (1982), Modelling association football scores — trabalho original, em inglês.
• Dixon e Coles (1997), Modelling Association Football Scores and Inefficiencies in the Football Betting Market — trabalho original, em inglês.
• Michels, Ötting e Karlis, seção 2.1 — formulação da correção e restrições dos parâmetros, em inglês.
• Petretta, Schiavon e Diquigiovanni — discussão de modelos de placar e ponderação temporal, em inglês.

Para explorar as quatro células com taxas fixas, use a calculadora Dixon-Coles, em inglês. Para uma visão das diferenças entre abordagens, veja a comparação de modelos de placar, em inglês.

Perguntas frequentes