ImpliedScore · Гайд
Maher (1982) и Dixon-Coles (1997): модели футбольного счёта простыми словами
Работы Maher (1982) и Dixon-Coles (1997) описывают подходы к моделированию футбольного счёта через интенсивности голов и силу команд. Поправка Dixon-Coles непосредственно меняет четыре результата: 0–0, 1–0, 0–1 и 1–1. Остальные ячейки при тех же интенсивностях сохраняются.
Ниже разберём, как из атаки и защиты получают ожидаемые голы, что делает параметр ρ и зачем старым матчам придают меньший вес. Отдельно рассмотрим ImpliedScore: калькулятор подбирает интенсивности к вероятностям из коэффициентов, что отличается от обучения исторической модели.
Как Maher связывает голы с атакой и защитой
Оценивать каждый точный счёт отдельной частотой сложно: для конкретной пары команд обычно мало матчей. Параметрическая модель использует более компактное описание — силу атаки, защиту соперника и условия встречи — и из него получает вероятности всех счетов.
В работе Maher исследуются распределения голов с учётом различий между командами. Распространённую форму этой семьи моделей удобно представить так:
λ хозяев = базовая интенсивность × атака хозяев × слабость защиты гостей × фактор своего поляλ гостей = базовая интенсивность × атака гостей × слабость защиты хозяев
Здесь намеренно используется слабость защиты: чем она выше, тем больше ожидаемых голов у соперника. В другой записи может использоваться сила защиты с противоположным знаком или в знаменателе. При оценивании параметры требуют ограничений масштаба; произвольное перемножение придуманных рейтингов не заменяет подгонку по данным.
Полученные λ относятся к конкретному противостоянию. Maher также исследовал бивариантное расширение с зависимостью между голами, поэтому всю статью нельзя свести только к независимому Пуассону.
Как интенсивность превращается в вероятность счёта
Для команды с пуассоновской интенсивностью λ вероятность забить k голов равна:
P(k голов) = e−λ × λk / k!
Если голы команд условно независимы при заданных параметрах, вероятность счёта h–a равна произведению двух вероятностей:
P(h,a) = e−(λ хозяев + λ гостей) × λ хозяевh/h! × λ гостейa/a!
Независимость здесь — допущение модели с учётом её входной информации. Оно не утверждает, что команды в реальном матче никак не влияют друг на друга. Изменение счёта, тактики или состава может менять процесс забивания по ходу игры.
Основу подробнее объясняет распределение Пуассона в футболе. Чтобы разобраться в полученной таблице, пригодится чтение карты вероятностей счёта. Ожидаемые голы — средние значения модели, а не обязательное число голов в ближайшем матче.
Что именно меняет Dixon-Coles
Dixon и Coles добавляют локальную поправку к совместному распределению голов. Она позволяет корректировать низкие счета без прямого изменения всех остальных ячеек. Наличие и направление ошибки независимого Пуассона нужно устанавливать по данным: универсальной недооценки всех низких ничьих для любой лиги нет.
Скорректированная вероятность равна P DC(h,a) = τ(h,a) × P независимого Пуассона(h,a). Множители τ имеют вид:
| Счёт | Множитель τ |
|---|---|
| 0–0 | 1 − λ хозяев × λ гостей × ρ |
| 1–0 | 1 + λ гостей × ρ |
| 0–1 | 1 + λ хозяев × ρ |
| 1–1 | 1 − ρ |
| Остальные счета | 1 |
При отрицательном ρ и допустимых параметрах вероятности 0–0 и 1–1 растут, а 1–0 и 0–1 уменьшаются. При положительном ρ направления меняются на противоположные. Сам ρ управляет локальной поправкой и не равен обычному коэффициенту корреляции голов.
Какие значения ρ допустимы
Вероятности не должны становиться отрицательными. При строго положительных λ это требует следующих границ:
max(−1/λ хозяев, −1/λ гостей) ≤ ρ ≤ min(1, 1/(λ хозяев × λ гостей))
При работе с логарифмом правдоподобия обычно нужны положительные вероятности, поэтому границ, на которых ячейка обращается в ноль, избегают. Если один ρ используется для многих игр, ограничения должны соблюдаться для каждой пары интенсивностей. Единого безопасного диапазона для любых λ нет.
Строгая положительность всех множителей означает строгие знаки < вместо ≤ в формуле выше. В главном движке ImpliedScore 0.5.2 действуют дополнительные ограничения: ρ от −0.12 до +0.02, λ не выше 6. В этом диапазоне каждый τ не меньше 0.28. Это свойство текущих границ реализации, а не универсальный интервал для произвольных интенсивностей.
Числовой пример: четыре изменения
Зафиксируем λ хозяев = 1,60, λ гостей = 1,10 и возьмём ρ = −0,10. Это учебная настройка, а не рекомендация для конкретного соревнования.
| Счёт | Независимый Пуассон | С поправкой DC | Изменение |
|---|---|---|---|
| 0–0 | 6,72% | 7,90% | +1,18 п.п. |
| 1–0 | 10,75% | 9,57% | −1,18 п.п. |
| 0–1 | 7,39% | 6,21% | −1,18 п.п. |
| 1–1 | 11,83% | 13,01% | +1,18 п.п. |
Без округления каждое изменение по модулю равно 1,182817… процентного пункта. Два увеличения компенсируются двумя уменьшениями, поэтому полная сумма вероятностей остаётся равной 100%.
- Ничья получает примерно 2,37 процентного пункта за счёт 0–0 и 1–1.
- Победы хозяев и гостей теряют примерно по 1,18 пункта каждая.
- «Обе забьют — да» получает примерно 1,18 пункта благодаря ячейке 1–1.
- Тотал 2,5 не меняется: все четыре ячейки находятся в ТМ 2,5, а сумма поправок равна нулю.
При фиксированных λ разница между вероятностями побед хозяев и гостей сохраняется, но их положение относительно ничьей может измениться. Поэтому утверждение «ρ никогда не меняет фаворита рынка 1X2» слишком сильное. Если же после изменения ρ модель заново подбирает λ, косвенно может измениться вся матрица.
Связь этих ячеек с рынками отдельно разбирает материал тотал и «обе забьют» из матрицы.
Зачем учитывать давность матчей
Историческая модель Dixon-Coles включает не только множители четырёх ячеек. Силы команд оцениваются по результатам с временными весами: более старые игры вносят меньший вклад в критерий подгонки. Типичная запись веса:
Вес матча = exp(−ξ × давность матча)
При положительном ξ вклад уменьшается со временем. Чем больше ξ, тем быстрее затухание. Параметр зависит и от единицы времени: значение для дней нельзя механически переносить на недели. Подходящий темп проверяют на данных, а не назначают как универсальный стандарт для всех лиг.
Чтобы оценить такую модель, нужны исторические результаты, ограничения параметров и процедура подгонки. Одна только поправка τ к готовым λ не воспроизводит этот процесс.
Как устроен расчёт ImpliedScore
методология ImpliedScore описывает расчёт, начинающийся с рынка:
- Вводятся коэффициенты П1, X и П2. Тотал 2,5 опционален; при включённом тотале обязательны обе цены — ТБ и ТМ. Активные коэффициенты должны быть от 1.01 до 999.
- Выполняются перевод коэффициентов в вероятность и снятие маржи.
- До подбора интенсивностей выбираются независимый Пуассон или Dixon–Coles и значение ρ.
- Подбираются интенсивности обеих команд в выбранной модели, приближающие полученные вероятности.
- Строится матрица выбранной модели, затем суммируются нужные события.
Когда выбран Dixon-Coles, поправка τ включается в подбор λ. Значение ρ, выбранное пользователем или эвристической настройкой, не равно оценке исторической модели целиком по максимальному правдоподобию. Хорошее совпадение с входными котировками также не доказывает, что сами рыночные вероятности точны.
При фиксированном ρ две интенсивности приближают две независимые цели 1X2; включённый тотал добавляет третью. Совместный точный fit в общем случае недостижим. Вкладка «Подгонка» показывает остатки, а предупреждение границы поиска требует отдельно проверить, насколько решение ограничено диапазоном λ.
Эти λ — средние голы, подразумеваемые моделью, подогнанной к коэффициентам. Они отличаются от xG, рассчитанного по характеристикам ударов. Входные поля и качество приближения объясняет руководство по калькулятору точного счёта; проверку прогнозов по новым результатам — материал калибровка и Brier score.
Источники и дальнейшее чтение
- Maher (1982), Modelling association football scores — оригинальная работа на английском языке.
- Dixon и Coles (1997), Modelling Association Football Scores and Inefficiencies in the Football Betting Market — оригинальная работа на английском языке.
- Michels, Ötting и Karlis, раздел 2.1 — формула поправки и ограничения параметров, на английском языке.
- Petretta, Schiavon и Diquigiovanni — обсуждение моделей счёта и временных весов, на английском языке.
Изменение четырёх ячеек при заданных λ можно исследовать в калькуляторе Dixon-Coles на английском языке. Другие подходы рассматривает сравнение моделей счёта на английском языке.
Частые вопросы
Что такое модель Dixon-Coles?
Подход к моделированию счёта с силами команд, временными весами и локальной поправкой зависимости для четырёх низких результатов. В калькуляторах название иногда относится только к применению этой поправки; способ получения параметров нужно уточнять отдельно.
Что делает параметр ро (ρ)?
Меняет вероятности 0–0, 1–0, 0–1 и 1–1. В принятой здесь записи отрицательное значение увеличивает две низкие ничьи. Допустимые границы зависят от интенсивностей.
Почему не использовать просто Пуассон?
Независимый Пуассон — полезная базовая модель. Dixon-Coles может исправить определённую зависимость в низких счетах, но преимущество на новых матчах нужно проверять, а не считать обязательным.
Используется ли Dixon-Coles сейчас?
Поправка применяется в исследованиях и реализациях, включая ImpliedScore. Это не означает, что все современные модели построены на ней или что она всегда лучше альтернатив.